Tema4. Aplicación de las derivadas

  4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos Criterio de la 1ª derivada Sea  c  un número crítico de una función continua  f . a)  Si  f ′  cambia de positiva a negativa en  c , entonces  f tiene un máximo local en  c . b)  Si  f ′  cambia de negativa a positiva en  c , entonces  f  tiene un mínimo local en  c . c)  Si  f ′  no cambia de signo en  c , entonces  f no tiene ningún máximo o mínimo local en  c . Ejemplo En las siguientes figuras se muestra la función  f ( x )=4 x 2 −16 x +20 f(x)=4x2−16x+20  con número crítico  x =2 x=2 . De color rosa se muestra la recta tangente cuya pendiente es negativa para  x <2 x<2   y positiva para  x >2 x>2 ; en términos de derivadas se tiene que  f ′ ( x )<0 f′(x)<0  para  x <2 x<2  y  f ′ ( x )>0 f′(x)>0  para...

 

Criterio de la Segunda Derivada para Máximos y Mínimos Es posible utilizar la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ƒ es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c y f’(c) =0, f(c) Sea ƒ una función tal que ƒ’ (c) =0 y la segunda derivada de ƒ existe en un intervalo abierto que contiene a c 1. Si f'' (c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f (c)) 2. Si f'' (c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f (c)) Si f'' (c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizá tenga in máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de los 2. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada  f'(x) - f' (c)/ x -c = f' (x)/ x - c > 0

  Análisis de la Variación de una Función y Graficación Al dibujar la gráfica de una función, ya sea en forma manual o por medio de una herramienta gráfica, recuerde que normalmente no es posible mostrar toda la gráfica entera. La decisión en cuanto a qué parte de la gráfica usted decide mostrar es muchas veces crucial. Por ejemplo, ¿cuál de las ventanas de observación en la figura 5.32 representa mejor la gráfica de f(x) = x3 - 25x2 + 74x – 20 Características • Intersecciones con los ejes x y y • Simetría • Continuidad • Asíntotas verticales ESTRATEGIA PARA ANALIZAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN l. Determinar el dominio y el rango de la función. 2. Determinar las intersecciones, asíntotas y la simetría de la gráfica. 3. Localizar los valores de x para los cualesf' y f", son cero o no existen. Utilizar los resultados para determinar los extremos relativos y puntos de inflexión.   Analice y dibuje la gráfica de f(x) = 2(x2 - 9) /x al cuadrado - 4

  Razones de Cambio Relacionadas Cálculo de razones de cambio relacionadas Ya se sabe cómo usar la regla de la cadena para encontrar dy Y dx de manera implícita. Otra aplicación relevante de la regla de la cadena consiste en encontrar razones de cambio de dos o más variables relacionadas que están cambiando respecto al tiempo. Por ejemplo, cuando sale agua de un depósito cónico (figura 2.33), el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son funciones de t. Sabiendo que estas magnitudes variables se relacionan mediante la ecuación v = pi/3 r 2 h Se puede derivar implícitamente con respecto a t a fin de obtener la ecuación de razones de cambio Dos razones de cambio relacionadas Sean x y y dos funciones derivables de t, y relacionadas por la ecuación y  x2    Calcular dy Y dt para x  1, sabiendo que dx Y dt  2 para x = 1. Solución Derivar ambos lados con respecto a t, utilizando la regla de la cadena Solución de problemas con razone...

  Problemas de Optimización El hombre siempre se enfrenta con el problema de encontrar la mejor manera de obtener la ganancia, al menor costo. Por ejemplo, el ranchero quiere escoger la mezcla de pastos para poder obtener el mayor aprovechamiento, un científico desea escoger y aplicar la menor dosis de una vacuna para obtener el mayor aprovechamiento, un fabricante desea minimizar el costo de producción de un producto. Algunas veces, problemas que se presentan ante la vida real, pueden formularse y resolverse, al involucrar una función y así es como el cálculo se vuelve una herramienta muy poderosa para poder resolver este tipo de cuestionamientos. La invención de Isaac Newton se vio lograda, en un momento de encierro, ya que, en 1665, la gran plaga de la peste hizo que se fuera a un retiro en su casa de casi 18 meses y ahí en retiro surgió su método de fluxiones (lo que conocemos hoy como el cálculo diferencial). El  criterio de la primera derivada  proporciona la mo...

Definición de diferencial Eun diferencial se refiere a un cambio infinitesimal en una variable y a la forma en que afecta a una función. Es un concepto central en el cálculo diferencial y puede entenderse desde dos perspectivas: Geometría y cálculo diferencial: El diferencial de una función f ( x ) f(x) f ( x ) en un punto x x x representa la aproximación lineal del cambio en f ( x ) f(x) f ( x ) debido a un cambio pequeño en x x x . Matemáticamente, se define como: d y = f ′ ( x )   d x dy = f'(x) \, dx d y = f ′ ( x ) d x Donde: d x dx d x es un cambio infinitesimal en la variable x x x . d y dy d y es el cambio correspondiente en y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) basado en la pendiente f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) , que es la derivada de f ( x ) f(x) f ( x ) . Interpretación práctica: En términos simples, el diferencial proporciona una herramienta para analizar cómo una pequeña variación en la entrada de una función afecta su salida. Esto es útil en aplicaciones como físi...