4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

 

4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos

Criterio de la 1ª derivada

Sea c un número crítico de una función continua f.

a) Si f′ cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c.

b) Si f′ cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c.

c) Si f′ no cambia de signo en c, entonces f no tiene ningún máximo o mínimo local en c.

Ejemplo

En las siguientes figuras se muestra la función f(x)=4x2−16x+20f(x)=4x2−16x+20 con número crítico x=2x=2. De color rosa se muestra la recta tangente cuya pendiente es negativa para x<2x<2 y positiva para x>2x>2; en términos de derivadas se tiene que f′(x)<0f′(x)<0 para x<2x<2 y f′(x)>0f′(x)>0 para x>2x>2. En consecuencia, el signo de la deriva f′(x)f′(x) cambia de negativo a positivo en el número crítico x=2x=2.






Con base en las observaciones anteriores, podemos describir el comportamiento de la gráfica la función ff:

• El número crítico es x=2x=2.

• Se tiene un punto crítico en (2,4)(2,4).

• En el intervalo (−∞,2)(−∞,2), la derivada de la función es negativa, es decir, f′(x)<0f′(x)<0.

• En el intervalo (2,∞)(2,∞), la derivada de la función es positiva, es decir, f′(x)>0f′(x)>0.

• En el número crítico, f′f′ cambia de negativo a positivo, entonces ff tiene un mínimo local en x=2x=2 (por el criterio de la primera derivada).

• En consecuencia, f(2)=4f(2)=4 es un mínimo local.


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