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4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio.

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  Teorema de Rolle   El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado. TEOREMA DE ROLLE   Michel Rolle, matemático francés, fue el primero en publicar en 1691 el teorema que lleva su nombre. Sin embargo, antes de ese tiempo Rolle fue uno de los más severos críticos del cálculo, señalando que éste proporcionaba resultados erróneos y se basaba en razonamientos infundados. Posteriormente Rolle se dio cuenta de la utilidad del cálculo. TEOREMA 3.3   TEOREMA DE ROLLE Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si ƒ(a) ƒ(b) entonces existe al me...
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4.8 Razones de cambio relacionadas.

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  Razones de Cambio Relacionadas Cálculo de razones de cambio relacionadas Ya se sabe cómo usar la regla de la cadena para encontrar dy Y dx de manera implícita. Otra aplicación relevante de la regla de la cadena consiste en encontrar razones de cambio de dos o más variables relacionadas que están cambiando respecto al tiempo. Por ejemplo, cuando sale agua de un depósito cónico (figura 2.33), el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son funciones de t. Sabiendo que estas magnitudes variables se relacionan mediante la ecuación v = pi/3 r 2 h Se puede derivar implícitamente con respecto a t a fin de obtener la ecuación de razones de cambio Dos razones de cambio relacionadas Sean x y y dos funciones derivables de t, y relacionadas por la ecuación y  x2    Calcular dy Y dt para x  1, sabiendo que dx Y dt  2 para x = 1. Solución Derivar ambos lados con respecto a t, utilizando la regla de la cadena Solución de problemas con razone...
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4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales.

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Calculo de aproximaciones usando diferenciales El cálculo de aproximaciones usando diferenciales es una técnica útil para estimar el valor de una función f ( x ) f(x) f ( x ) cerca de un punto conocido x 0 x_0 x 0 ​ , especialmente cuando calcular el valor exacto es complicado. Esta técnica utiliza la idea de que, para cambios pequeños, la función f ( x ) f(x) f ( x ) puede aproximarse por una línea tangente. Fórmula General La aproximación mediante diferenciales se basa en: Δ y ≈ d y = f ′ ( x 0 )   d x \Delta y \approx dy = f'(x_0) \, dx Δ y ≈ d y = f ′ ( x 0 ​ ) d x Donde: d y dy d y es el diferencial , una aproximación del cambio real Δ y = f ( x 0 + d x ) − f ( x 0 ) \Delta y = f(x_0 + dx) - f(x_0) Δ y = f ( x 0 ​ + d x ) − f ( x 0 ​ ) . d x = x − x 0 dx = x - x_0 d x = x − x 0 ​ es el cambio en la variable independiente. f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ​ ) es la derivada de f ( x ) f(x) f ( x ) evaluada en el punto x 0 x_0 x 0 ​ . La función se aproxima como: f ( x )...
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