4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio.

 

Teorema de Rolle

 El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.

TEOREMA DE ROLLE

 Michel Rolle, matemático francés, fue el primero en publicar en 1691 el teorema que lleva su nombre. Sin embargo, antes de ese tiempo Rolle fue uno de los más severos críticos del cálculo, señalando que éste proporcionaba resultados erróneos y se basaba en razonamientos infundados. Posteriormente Rolle se dio cuenta de la utilidad del cálculo.

TEOREMA 3.3

 TEOREMA DE ROLLE Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si ƒ(a) ƒ(b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que ƒ′(c) 0.

Caso 1: Si ƒ(x) d para todo x en [a, b], f es constante en el intervalo y, por el teorema 2.2, ƒ(x) 0 para todo x en (a, b).

 Caso 2: Suponer que ƒ(x) > d para algún x en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se sabe que f tiene un máximo en algún punto c en el intervalo. Además, como ƒ(c) > d, este máximo no puede estar en los puntos terminales. De tal modo, f tiene un máximo en el intervalo abierto (a, b). Esto implica que f(c) es un máximo relativo y por el teorema 3.2, c es un número crítico de f. Por último, como f es derivable en c, es posible concluir que ƒ(c) 0.

 Caso 3: Si ƒ(x) < d para algún x en (a, b), se puede utilizar un argumento similar al del caso 2, pero implicando el mínimo en vez del máximo.

 De acuerdo con el teorema de Rolle, puede verse que si una función f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si ƒ(a) ƒ(b), debe existir al menos un valor x entre a y b en el cual la gráfica de f tiene una tangente horizontal, como se muestra en la fi gura 3.8a. Si se elimina el requerimiento de derivabilidad del teorema de Rolle, f seguirá teniendo un número crítico en (a, b), pero quizá no produzca una tangente horizontal.

Ejemplo

El teorema del valor medio

El teorema de Rolle puede utilizarse para probar otro teorema: el teorema del valor medio

TEOREMA 4.2 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

 Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que

f(b)−f(a)

Aunque es posible utilizar el teorema del valor medio de manera directa en la solución de problemas, se usa más a menudo para demostrar otros teoremas. De hecho, algunas personas consideran que éste es el teorema más importante en el cálculo (se relaciona estrechamente con el teorema fundamental del cálculo explicado en la sección 4.4). Por ahora, es posible obtener una idea de la versatilidad de este teorema considerando los resultados planteados en los ejercicios 81 a 89 de esta sección.

El teorema del valor medio tiene implicaciones para ambas interpretaciones básicas de la derivada. Geométricamente, el teorema garantiza la existencia de una recta tangente que es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)), como se indica en la fi gura 3.12. El ejemplo 3 ilustra esta interpretación geométrica del teorema del valor medio. En términos del ritmo o velocidad de cambio, el teorema del valor medio implica que debe haber un punto en el intervalo abierto (a, b) en el cual el ritmo o velocidad de cambio instantánea es igual al ritmo o velocidad de cambio promedio sobre el intervalo [a, b].

Ejemplo

Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,1]:

En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y derivable en (0,1)

Continuidad:

La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,1].

Derivabilidad:

La función es derivable en (0,1) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es:

Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c  en ese intervalo tal que:

Vamos a pasar a calcular el punto c del teorema.

Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:

Y calculamos f'(c):

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

Sustituyendo la x por la c:

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

Ejemplo 2

Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,4]:

Tenemos que comprobar que la función es continua y derivable en ese intervalo. Tenemos un punto crítico en el punto x=2, por lo que vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en ese punto (ambos tramos son continuos y derivables por ser polinomios).

Continuidad:

Para ver si la función es continua en x=2, tenemos que comprobar que sus límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden.

El límite por la izquierda de x=2 es:

El límite por la derecha:

Y el valor de la función:

Los límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden:

Por lo que la función es continua en x=2

Ahora vamos a ver si la función es derivable en x=2

Para ello, obtenemos la derivada de f(x):

Y ahora comprobamos si f'(x) es continua en x=2.

El límite por la izquierda es:

El límite por la derecha:

Y el valor de f'(x) en x=2 es:

Los límites laterales y el valor de f'(x) coinciden:

Por tanto f'(x) es continua para x=2 y f(x) es derivable para x=2.

Cumplen las dos condiciones obligatorias, luego se puede aplicar el teorema del valor medio y existirá un punto c en el intervalo [0,4] tal que:

Calculamos el valor de la función en los extremos:

Y calculamos el valor de f'(c):

Por otro lado, obtenemos f'(c), a partir de f'(x), sustituyendo la x por la c:

En el primer tramo no obtenemos ningún valor de c, pero en el segundo tramo, depende de c, que lo igualamos al valor de f'(c) calculado anteriormente y obtenemos lo que vale c: