4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales.

Calculo de aproximaciones usando diferenciales

El cálculo de aproximaciones usando diferenciales es una técnica útil para estimar el valor de una función f(x)f(x) cerca de un punto conocido x0x_0, especialmente cuando calcular el valor exacto es complicado. Esta técnica utiliza la idea de que, para cambios pequeños, la función f(x)f(x) puede aproximarse por una línea tangente.

Fórmula General

La aproximación mediante diferenciales se basa en:

Δy≈dy=f′(x0) dx\Delta y \approx dy = f'(x_0) \, dx

Donde:

  • dydy es el diferencial, una aproximación del cambio real Δy=f(x0+dx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + dx) - f(x_0).
  • dx=x−x0dx = x - x_0 es el cambio en la variable independiente.
  • f′(x0)f'(x_0) es la derivada de f(x)f(x) evaluada en el punto x0x_0.

La función se aproxima como:

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Pasos para Calcular Aproximaciones

  1. Identifica la función y el punto base: Selecciona f(x)f(x) y un valor cercano conocido x0x_0.
  2. Calcula la derivada: Encuentra f′(x)f'(x) y evalúala en x0x_0.
  3. Determina el diferencial: Usa dx=x−x0dx = x - x_0 para calcular dy=f′(x0) dxdy = f'(x_0) \, dx.
  4. Haz la aproximación: Sustituye en la fórmula f(x)≈f(x0)+dyf(x) \approx f(x_0) + dy.
Ejemplo:
Ejemplo:

Aproxime ³√10, donde ³√ denota la raíz cúbica.


Solución
Claramente, la función que se debe utilizar en este ejercicio es f(x)=³√x y el valor de “x” debe ser “10”.


Un valor cercano a “10” tal que su raíz cúbica es conocida es “x0=8”. Entonces se tiene que Δx = 10-8 = 2 y f(x0) = f(8) = 2. También se tiene que f'(x) = 1/3*³√x², y en consecuencia f'(8) = 1/3*³√8² = 1/3*³√64 = 1/3*4 = 1/12.
Sustituyendo los datos en la fórmula se obtiene que:


³√10 = f(10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2+1/6 = 13/6 = 2.166666….
La calculadora dice que ³√10 ≈ 2.15443469… Por lo tanto, la aproximación encontrada es buena.




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