4.12 La regla de L'Hopital.

La regla de L'Hopital.

 La regla de L'Hôpital es una herramienta en el cálculo diferencial que se utiliza para evaluar límites indeterminados de las formas:

  1. 00\frac{0}{0}
  2. ∞∞\frac{\infty}{\infty}

La regla establece que, si las condiciones apropiadas se cumplen, el límite de una fracción puede evaluarse derivando el numerador y el denominador de forma independiente.

Enunciado de la Regla de L'Hôpital

Si:

  • lim⁡x→cf(x)=0\lim_{x \to c} f(x) = 0 y lim⁡x→cg(x)=0\lim_{x \to c} g(x) = 0, o
    lim⁡x→cf(x)=±∞\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty y lim⁡x→cg(x)=±∞\lim_{x \to c} g(x) = \pm \infty,
  • f(x)f(x) y g(x)g(x) son derivables cerca de cc,
  • g′(x)≠0g'(x) \neq 0 cerca de cc,

Entonces:

lim⁡x→cf(x)g(x)=lim⁡x→cf′(x)g′(x),\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},

si el límite del lado derecho existe.

Pasos para Usar la Regla de L'Hôpital

  1. Verifica que el límite original esté en una forma indeterminada (00\frac{0}{0} o ∞∞\frac{\infty}{\infty}).
  2. Deriva el numerador y el denominador por separado.
  3. Evalúa el límite de la nueva fracción.
  4. Repite el proceso si la nueva fracción también resulta indeterminada.

Forma indeterminada 0/0 
En la solución del ejemplo 1, observe que en realidad no sabe que el primer limite es igual al segundo límite hasta que se haya demostrado que existe el segundo limite. En otras palabras, si no hubiera existido el segundo limite, entonces no se habría permitido la aplicación de la regla de L'Hópital.
 Otra forma de regla de L'Hópital establece que si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a oo (o -oo) produce la forma indeterminada 0/0 o oo/oo, entonces 

siempre que exista el límite por la derecha.  

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