Tema4. Aplicación de las derivadas

  Teorema de Rolle   El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado. TEOREMA DE ROLLE   Michel Rolle, matemático francés, fue el primero en publicar en 1691 el teorema que lleva su nombre. Sin embargo, antes de ese tiempo Rolle fue uno de los más severos críticos del cálculo, señalando que éste proporcionaba resultados erróneos y se basaba en razonamientos infundados. Posteriormente Rolle se dio cuenta de la utilidad del cálculo. TEOREMA 3.3   TEOREMA DE ROLLE Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si ƒ(a) ƒ(b) entonces existe al me...

  4.2 Función creciente y decreciente. Funciones crecientes y decrecientes En esta sección se verá cómo se pueden utilizar las derivadas para clasificar extremos relativos ya sea como mínimos o como máximos relativos. En primer término, es importante definir las funciones crecientes y decrecientes. Una función ƒ es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x11 < x2 implica ƒ(x1 ) < ƒ(x2 ). Una función ƒ es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica ƒ(x1 ) > ƒ(x2 ). Una función es creciente si, cuando x se mueve hacia la derecha, su gráfica asciende, y es decreciente si su gráfica desciende. Por ejemplo, la función en la figura 3.15 es decreciente en el intervalo (- ∞ , a), es constante en el intervalo (a, b) y creciente en el intervalo (b, ∞ ). Ejemplo Estimar donde la siguiente función es creciente y decreciente. Solución Incrementando: x ∈ (−∞, −1.5) (...

4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función. Los  máximos y mínimos de una función  son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el  dominio . Los  máximos  y  mínimos  en una  función   f  son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la  función , ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su  dominio  (extremos absolutos). Los máximos y mínimos también se llaman  extremos de la función . Máximos y mínimos absolutos Los  extremos absolutos  son los valores de una  función   f  más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el  dominio . ·          El  máximo absoluto  de la  función   f  es el valor más grande en todo el  dominio . ·          El  mínimo absoluto  de l...